Тип 16 № 12372

Преобразуем числитель: $$4^{x + 1} - 192\cdot0,25^{x + 1} - 4 = 4\cdot4^x - 192\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{x + 1} - 4$$ $$= 4\cdot4^x - 192\cdot\frac{1}{4}\cdot4^{-x} - 4 = 4\cdot4^x - 48\cdot4^{-x} - 4$$

Получаем: $$\frac{4\cdot4^x - 48\cdot4^{-x} - 4}{x + 2} \leq 0$$

Умножим неравенство на $4^x > 0$: $$\frac{4\cdot(4^x)^2 - 48 - 4\cdot4^x}{x + 2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{4\cdot(4^x)^2 - 4\cdot4^x - 48}{x + 2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(4^x)^2 - 4^x - 12}{x + 2} \leq 0$$

Разложим числитель на множители: $$(4^x)^2 - 4^x - 12 = (4^x - 4)(4^x + 3)$$

По методу рационализации: $$\frac{(4^x - 4^1)(4^x + 3)}{x + 2} \leq 0$$

Заметим, что $4^x + 3 > 0$ при любом значении $x$. Разделим обе части неравенства без потери знака: $$\frac{4^x - 4}{x + 2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{x - 1}{x + 2} \leq 0$$

Ответ: $(-2; 1]$