Тип 14 № 15789

а) Преобразуем уравнение.

Левая часть: $$\cos^4 \frac{x}{4} - \sin^4 \frac{x}{4} = \left( \cos^2 \frac{x}{4} - \sin^2 \frac{x}{4} \right) = \cos\frac{x}{2}.$$

Правая часть: $$\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x.$$

Уравнение принимает вид: $$\cos\frac{x}{2} = -\cos x.$$

Используем формулу $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$: $$\cos\frac{x}{2} = -\left(2\cos^2\frac{x}{2} - 1\right).$$ $$\cos\frac{x}{2} = -2\cos^2\frac{x}{2} + 1.$$ $$2\cos^2\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} - 1 = 0.$$

Решаем квадратное уравнение относительно $t = \cos\frac{x}{2}$: $$2t^2 + t - 1 = 0.$$ $$D = 1 + 8 = 9, \quad t = \frac{-1 \pm 3}{4}.$$ $$t_1 = \frac{1}{2}, \quad t_2 = -1.$$

Таким образом: $$\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{2} = -1.$$

1. $\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$: $$\frac{x}{2} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$ $$x = \pm\frac{2\pi}{3} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. $\cos\frac{x}{2} = -1$: $$\frac{x}{2} = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$ $$x = 2\pi + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi; 5\pi]$:

$$\pi \leq 2\pi + 4\pi k \leq 5\pi; \quad -\pi \leq 4\pi k \leq 3\pi; \quad -\frac{1}{4} \leq k \leq \frac{3}{4},$$ откуда $k = 0$, а $x = 2\pi$;

$$\pi \leq \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \leq 5\pi; \quad \frac{\pi}{3} \leq 4\pi k \leq \frac{13\pi}{3}; \quad \frac{1}{12} \leq k \leq \frac{13}{12},$$ откуда $k = 1$, а $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}$;

$$\pi \leq -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \leq 5\pi; \quad \frac{5\pi}{3} \leq 4\pi k \leq \frac{17\pi}{3}; \quad \frac{5}{12} \leq k \leq \frac{17}{12},$$ откуда $k = 1$, а $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$.

Ответ: а) $2\pi + 4\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \frac{2\pi}{3} + 4\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$
б) $2\pi,\; \frac{10\pi}{3},\; \frac{14\pi}{3}$