Тип 15 № 15877

а) Рассмотрим плоскость $(DOE)$. Точка $P$ лежит на прямой $OD$, поэтому лежит и в плоскости $(DOE)$. Точка $F$ лежит на прямой $OE$, поэтому также лежит в плоскости $(DOE)$. Значит, прямые $DE$ и $PF$ лежат в плоскости $(DOE)$.

Четырёхугольник $DPEF$ имеет диагонали $DE$ и $PF$, следовательно, они пересекаются.

б) По теореме Менелая для треугольника $SBC$ и прямой $OF$:

$$\frac{SO}{OC} \cdot \frac{CF}{FB} \cdot \frac{BE}{ES} = 1$$

$$\frac{SO}{OC} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = 1 \Rightarrow \frac{SO}{OC} = \frac{1}{2}$$

По теореме Менелая для треугольника $SAC$ и прямой $OD$:

$$\frac{AP}{PS} \cdot \frac{SO}{OC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$$

$$\frac{AP}{PS} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} = 1 \Rightarrow \frac{AP}{PS} = 1$$

Ответ: б) $1 : 1$