Тип 19 № 18156

Запишем уравнение в виде $$x^2+(a-1)^2=|x+a-1|+|x-a+1|.$$

Если $x_0$ является корнем исходного уравнения, то и $-x_0$ является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет нечётное число корней, только если $x_0=-x_0$, то есть $x_0=0$. Подставим значение $x=0$ в уравнение: $$(1-a)^2=2|1-a| \Leftrightarrow |1-a|\cdot(|1-a|-2)=0,$$ откуда либо $|1-a|=0 \Leftrightarrow a=1$, либо $|1-a|=2 \Leftrightarrow a=-1$ или $a=3$.

При $a=1$ уравнение принимает вид $x^2=2|x|$. Корнями этого уравнения являются числа $-2$, $0$ и $2$, то есть уравнение имеет ровно три корня.

При $a=-1$ и при $a=3$ уравнение принимает вид $$x^2+4=|x-2|+|x+2|.$$

При $x<-2$ это уравнение сводится к уравнению $$x^2+2x+4=0,$$ которое не имеет корней.

При $-2\leq x\leq 2$ получаем уравнение $$x^2=0,$$ которое имеет единственный корень.

При $x>2$ получаем уравнение $$x^2-2x+4=0,$$ которое не имеет корней.

Таким образом, при $a=-1$ и при $a=3$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a=-1$ и $a=3$.