Тип 18 № 20674

Решение

а)

Пусть $O_1$ -- центр малой окружности, а $O$ -- центр большей окружности. Точка $A$ лежит на прямой $OO_1$. Поэтому $OA$ -- диаметр малой окружности. Рассмотрим треугольник $AOK$. Он вписан в малую окружность, причём угол $K$ -- прямой, так как опирается на диаметр $OA$, откуда следует, что $OK \perp AB$.

Рассмотрим треугольник $OBA$. Он равнобедренный, так как $OB = OA$ как радиусы большей окружности. Значит, $OK$ -- высота, медиана и биссектриса этого треугольника, откуда $BK = AK$.

Аналогичным образом получаем $AM = MC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нём отрезок $KM$ -- средняя линяя, так как соединяет середины сторон треугольника, откуда следует, что $KM \parallel BC$, что и требовалось доказать.

б) Пусть $OH$ -- перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду $BC$. Тогда: $BH = HC$.

Из прямоугольного треугольника $OBH$ по теореме Пифагора:

$$OH = \sqrt{OB^2 - BH^2} = \sqrt{100 - 64} = 6$$

Так как $O_1P$ -- радиус, проведённый к точке касания: $O_1P \perp BC$, откуда $OH \parallel O_1P$. Опустим перпендикуляр $O_1T$.

Найдём отрезок $OT$:

$$OT = OH - TH = OH - QP = 6 - 5 = 1$$

$$PH = TO_1 \Rightarrow PH^2 = TO_1^2 = O_1O^2 - OT^2 = 25 - 1 = 24$$

Из прямоугольного треугольника $OPH$ по теореме Пифагора:

$$OH^2 + HP^2 = OP^2 \Leftrightarrow OP^2 = 36 + 24 = 60$$

Из прямоугольного треугольника $OPA$ по теореме Пифагора:

$$PA = \sqrt{OA^2 - OP^2} = \sqrt{100 - 60} = 2\sqrt{10}$$

$LM$ лежит на прямой $KM \parallel BC$, точка $M$ -- середина $AC$, откуда $LM$ -- средняя линяя треугольника $APC$.

Тогда $AL = \frac{1}{2}AP = \sqrt{10}$

Ответ: $\sqrt{10}$