Тип 4 № 20820

Решение. а) Доказательство перпендикулярности.

Рассмотрим треугольники $\triangle M B C$ и $\triangle N A B$. Поскольку $M B = N A = \tfrac{1}{2} a$ (где $a$ — ребро куба), а углы $\angle M B C$ и $\angle N A B$ являются прямыми, то $\triangle M B C \cong \triangle N A B$ по двум катетам.

Отсюда: $$\angle M C B = \angle N B A.$$

Пусть угол между $M C$ и $B_1 N$ обозначен как $\alpha$. Тогда в треугольнике $B M W$, где $W = B_1 N \cap M C$, имеем: $$\angle B W M = 180^\circ - (90^\circ - \alpha) - \alpha = 90^\circ.$$

Используя признак перпендикулярности наклонной, её проекции и перпендикуляра, получаем: $$\begin{cases} B_1 N \text{ — наклонная}, \\ B_1 B \text{ — перпендикуляр}, \\ B N \text{ — проекция}, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad B_1 N \perp C M.$$

б) Расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$.

Пусть плоскость $\alpha$ пересекает ребро $C D$ в точке $K$. Так как $N K \parallel C M$, а $N K$ и $C M$ принадлежат соответственно плоскостям $A B C D$ и $\alpha$, то прямые $D K N$ и $B M C$ подобны по равенству острых углов.

Из подобия: $$D K = B M \cdot \frac{D N}{B C} = \frac{A B}{2} \cdot \frac{A D}{2 B C} = \frac{C D}{4}.$$

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда по Пифагору: $$B_1 N^2 = B_1 B^2 + N B^2 = a^2 + a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 36,$$ откуда $$a^2 + a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{9 a^2}{4} = 36, \qquad a = 4,\qquad B_1 B = 4.$$

Находим: $$D N = \frac{a}{2} = 2,\qquad C K = a - D K = 4 - 1 = 3,\qquad K N = \frac{a\sqrt{5}}{4} = \sqrt{5}.$$

Рассмотрим пирамиду $C N K B_1$, высота $h$ которой из вершины $C$ является искомым расстоянием. Тогда: $$V_{C N K B_1} = \frac{1}{3}\, S_{N K B_1}\, h.$$

С другой стороны, объём той же пирамиды равен: $$V_{B_1 N K C} = \frac{1}{3} \, S_{N K C}\, B_1 B.$$

Приравнивая объёмы: $$\frac13 S_{N K C}\, B_1 B = \frac13 S_{N K B_1}\, h.$$

Вычисляя площади, получаем: $$h = \frac{S_{N K C}}{S_{N K B_1}}\, B_1 B = \frac{\tfrac12 D K \cdot C K}{\tfrac12 N B_1 \cdot K N} = \frac{1\cdot 3}{4 \cdot \sqrt{5}} \cdot B_1 B = \frac{3}{4\sqrt5} \cdot 4 = \frac{4\sqrt5}{5}.$$

$$\boxed{\frac{4\sqrt5}{5}}$$

Это и есть расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$.