Тип 4 № 20827

Решение.

а) Точка $O$ — середина диагоналей $CB_1$ и $BC_1$ прямоугольника $BCC_1B_1$ (см. рис.).

Следовательно, точка $O$ лежит в плоскости $ABC_1$. Треугольники $AD_1N$ и $OBN$ подобны по двум сторонам и углу между ними, значит,

$$\frac{AD_1}{BO}=2=\frac{D_1N}{BN} \qquad\text{и}\qquad \angle AD_1N = \angle AD_1B = \angle D_1BC_1 = \angle NBO.$$

Следовательно,

$$\angle ANO = \angle AND_1+\angle D_1NO = \angle ONB+\angle D_1NO = \angle D_1NB = 180^\circ.$$

Таким образом, точка $A$ лежит на прямой $NO$.

б) Прямые $BD_1$ и $CB_1$ — скрещивающиеся, а длина отрезка $NO$ равна расстоянию между ними, значит, он перпендикулярен обеим этим прямым.

Таким образом, прямая $CB_1$ перпендикулярна плоскости $ABC_1$, поскольку она перпендикулярна лежащим в ней прямым $AB$ и $AO$.

Следовательно, диагонали прямоугольника $BCC_1B_1$ перпендикулярны, то есть он является квадратом.

Из подобия треугольников $AD_1N$ и $OBN$ следует, что

$$AN=2NO=2\sqrt2.$$

Отрезок $BN$ — высота прямоугольного треугольника $ABO$ (см. рис.). Получаем:

$$BN=\sqrt{AN\cdot NO}=2, \qquad BD_1=6, \qquad BO=\sqrt{BN^2+NO^2}=\sqrt6,$$

$$AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=2\sqrt3.$$

Значит,

$$BC=BB_1=\sqrt2\cdot BO=2\sqrt3.$$

Таким образом, в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все рёбра равны $2\sqrt3$. Следовательно, его объём равен

$$(2\sqrt3)^3=24\sqrt3.$$

Ответ:

$$\text{б) }24\sqrt3.$$