Тип 16 № 20843

\textbf{Решение.} Найдём область допустимых значений:

$$\begin{cases} 2x^2-13x+20>0,\\ x+7>0,\\ \log_3(x+7)\ne 0. \end{cases}$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$2x^2-13x+20=(x-4)(2x-5).$$

Поэтому

$$\begin{cases} (x-4)(2x-5)>0,\\ x>-7,\\ x+7\ne 1. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} x<\dfrac52 \quad \text{или}\quad x>4,\\ x>-7,\\ x\ne-6. \end{cases}$$

Таким образом, область допустимых значений:

$$x\in(-7;-6)\cup \left(-6;\frac52\right)\cup (4;+\infty).$$

Перейдём к решению неравенства на ОДЗ: $$\begin{aligned} \frac{ \log_2(2x^2-13x+20)-1 }{ \log_3(x+7) } &\leq 0 \\ \Longleftrightarrow\quad \frac{ \log_2(2x^2-13x+20)-\log_2 2 }{ \log_3(x+7) } &\leq 0. \end{aligned}$$

Поскольку основания логарифмов $2$ и $3$ больше единицы, знак числителя совпадает со знаком выражения

$$2x^2-13x+20-2,$$ а знак знаменателя — со знаком выражения

$$x+7-1=x+6.$$

Следовательно, на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

$$\frac{2x^2-13x+18}{x+6}\leq 0.$$

Разложим числитель на множители:

$$2x^2-13x+18=(2x-9)(x-2).$$

Получаем

$$\frac{(2x-9)(x-2)}{x+6}\leq 0.$$

Критические точки:

$$-6,\qquad 2,\qquad \frac92.$$

Расположим их на числовой прямой и определим знаки:

Без учёта ОДЗ получаем

$$x\in(-\infty;-6)\cup \left[2;\frac92\right].$$

Пересечём это множество с областью допустимых значений: $$\begin{aligned} &\left( (-\infty;-6)\cup \left[2;\frac92\right] \right) \\ &\qquad{}\cap \left( (-7;-6)\cup \left(-6;\frac52\right)\cup (4;+\infty) \right). \end{aligned}$$

Окончательно получаем

$$\boxed{ x\in(-7;-6)\cup \left[2;\frac52\right)\cup \left(4;\frac92\right] }.$$

$$\text{Ответ: } x\in(-7;-6)\cup \left[2;\frac52\right)\cup \left(4;\frac92\right].$$