Тип 16 № 20878

Решение. Упростим числитель и знаменатель: $$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x, \quad 2^{2-x} = \frac{4}{2^x}, \quad 2^{6-x} = \frac{64}{2^x}$$ Сделаем замену $2^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{2t - \frac{68}{t}}{t - \frac{64}{t}} \geq 1$$ Умножим числитель и знаменатель на $t$: $$\frac{2t^2 - 68}{t^2 - 64} \geq 1$$ Перенесём 1 в левую часть: $$\frac{2t^2 - 68 - (t^2 - 64)}{t^2 - 64} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 4}{t^2 - 64} \geq 0$$ Разложим числитель и знаменатель на множители: $$\frac{(t - 2)(t + 2)}{(t - 8)(t + 8)} \geq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; -8) \cup [-2; 2] \cup (8; +\infty)$$ Учитывая, что $t = 2^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t \leq 2 \\ &t > 8 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &2^x \leq 2 \\ &2^x > 8 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \leq 1 \\ &x > 3 \end{aligned}\right.$$ Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup (3; +\infty)$