Тип 14 № 20882

Решение.

а) Используем формулу приведения

$$\cos(\pi-x)=-\cos x$$ и формулу синуса двойного угла

$$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$

Получаем:

$$\begin{aligned} \sin 2x-\sqrt{3}\cos(\pi-x)=0 &\Longleftrightarrow 2\sin x\cos x+\sqrt{3}\cos x=0 \\ &\Longleftrightarrow \cos x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0 \\ &\Longleftrightarrow \begin{cases} \cos x=0,\ \\ \displaystyle \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} \end{aligned}$$

Следовательно,

$$\begin{cases} \displaystyle x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ \\ \displaystyle x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\ \\ \displaystyle x=\frac{5\pi}{3}+2\pi k, \end{cases} \qquad k\in\mathbb Z.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

$$\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right].$$

Получаем:

$$-\frac{7\pi}{2},\qquad -\frac{8\pi}{3},\qquad -\frac{5\pi}{2}.$$

Ответ:

$$а) \left\{ \frac{4\pi}{3}+2\pi k;\ \frac{5\pi}{3}+2\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k \mathrel{\Big|} k\in\mathbb Z \right\};$$

$$б) -\frac{7\pi}{2},\quad -\frac{8\pi}{3},\quad -\frac{5\pi}{2}.$$