Тип 14 № 22857

Решение:

Преобразуем уравнение, используя формулу приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$:

$$2 - 2\cos^2x + \sqrt3\sin x = \sqrt3 + 2\sin x.$$

Перенесём все члены в левую часть:

$$2 - 2\cos^2x + \sqrt3\sin x - \sqrt3 - 2\sin x = 0.$$ $$2 -2(1 - \sin^2x) + \sqrt3\sin x - \sqrt3 - 2\sin x = 0$$ $$2\sin^2x -2\sin x +\sqrt3 \sin x - \sqrt3 = 0$$ $$2\sin x(\sin x - 1) + \sqrt3(\sin x - 1) = 0 \Leftrightarrow(2\sin x + \sqrt3)(\sin x - 1) = 0$$ $$\sin x = -\frac{\sqrt3}{2}, \quad \sin x = 1$$

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2}$$ $$-\frac{2\pi}{3} -2\pi = -\frac{8\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{7\pi}{2}; \quad -\frac{8\pi}{3}$$

Ответ:

а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi k; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$

б) $-\frac{7\pi}{2}; \quad -\frac{8\pi}{3}$